今回のケースはログインをしようとして、正しいユーザー名とパスワードを入力しても何のエラーも表示されずに、またログイン画面が表示されてしまうというものでした。
こちらが繰り返し表示されたときのURLです。
http://ドメイン/wp-login.php?redirect_to=http%3A%2F%2ドメイン%2Fwp-admin%2F&reauth=1
いろいろ調べたところ、この現象はデータベースの容量が圧迫されると発生する問題のようです。
参考：https://heartbrain.net/blog160205
例えば、レンタルサーバーで500MBまで使えるときにその500MBを使い切ってしまった時などです。
今回の依頼主のサーバーでも、複数のサイトを立ち上げていたため、データベースはかなり使ってはいましたが、使い切るほどではありませんでした。
念のため、使うことのないログデータなどを消しましたが、現象は変わりませんでした。
そこで、wp-config.phpを見直したところ、セキュリティキーが設定されていませんでした。
こちらのサイトでセキュリティキーを作成し、wp-config.phpに設定したところ、問題が解決されログインできるようになりました。